=∫{-1}^{1}|x|2 dx

= 2∫{0}^{1} x2 dx

= 2 *[x3/3]{0}^{1}

= 2*(1/3)= 2/3 <∞“

“所以，u∈ l2(Ω)。“

沈妍若有所思地点点头：“原来验证函数属於l2空间，就是要证明它的l2范数是有限的。“

“没错。“陈林继续写道，“接下来要求弱导数，这个稍微复杂一点。“

他在纸上画了一个简单的图，展示|x|函数的形状。

“你看，|x|在x=0处不可导，所以我们不能用普通的导数概念。这时候就需要用到弱导数的定义。“

陈林开始详细推导，笔尖在纸上飞快移动：

“设 v(x)= sign(x)={-1， x<0; 1， x>0}“

“对任意φ∈ c_c^∞(Ω)，我们需要验证：“

“∫{-1}^{1}|x|φ(x) dx =-∫{-1}^{1} v(x)φ(x) dx“

他將积分分成两部分计算，每一步都写得清清楚楚。

沈妍看得很专注，偶尔会提出疑问：“这里为什么可以分部积分？“

“因为φ是紧支撑的光滑函数，“陈林耐心解释，“在边界处它的值为零，所以分部积分不会產生边界项。“

时间在不知不觉中流逝。

阳光透过窗户，在草稿纸上投下斑驳的光影。

陈林的笔尖沙沙作响，偶尔停下来给沈妍详细解释某个关键步骤。

“你看，最后我们得到：“

“左式=∫{-1}^{0}φ dx -∫{0}^{1}φ dx“

“右式也是一样的结果，所以v確实是u的弱导数。“

“而且由於|v(x)|=1在Ω上有界，显然u∈ l1_loc(Ω)。“

沈妍恍然大悟：“原来弱导数的本质是通过积分来定义的，这样就避开了函数在某些点不可导的问题。“

“理解得很到位。“陈林装模做样，讚许地点点头，“我们继续看b小题。“

“这个就简单了，因为我们已经在a小题中证明了关键的等式。“

他快速写下：

“由(a)已证：

∫Ω uφ dx =∫{-1}^{0}φ dx -∫{0}^{1}φ dx

-∫Ω uφ dx =-∫Ω vφ dx =相同结果

故等式成立。“

做完第一题，陈林抬头看了看沈妍：“怎么样，这一题涉及的弱导数的基本概念理解了吗？“

沈妍认真地点点头：“比自己看书清楚多了。“

“那我们继续第二题。“陈林翻到新的一页，“这道题涉及到sobolev空间的完备性。“

他开始在纸上构建证明框架：

“要证明w^{1，p}空间是完备的，关键是利用l^p空间的完备性...“

就这样，两人在安静的自习室里，一个认真讲解，一个专心学习。

窗外的阳光渐渐西斜，在他们身上洒下一层温暖的金色。

偶尔，沈妍会因为突然理解了某个难点而露出欣喜的表情。

而陈林则会在她理解后，不动声色地继续下一个问题。

这种教与学的氛围，让时间过得飞快。

不知不觉间，草稿纸已经用了好几张，上面密密麻麻地写满了各种公式和推导。

“最后这道变分原理的题目，“陈林活动了一下有些发酸的手腕，“涉及到palais-smale条件，这个概念確实比较抽象。“

沈妍也揉了揉眼睛，连续看了这么久的数学推导，確实有点累。

但她的眼神依然明亮，显然收穫颇丰。

她看了一眼手机上的时间，已经快三个小时了。

然后就听到陈林说：“今天就先到这里吧，我怕你一下子学太多东西消化不了。正好还有一点题目，你可以根据自己学的內容回家做做，有不懂的下次諮询再问我。”

沈妍点点头：“好的。很感谢你愿意花这么多时间指导我。”

陈林笑了笑：“都说了你是大金主啊，我肯定得服务到位吧。”

沈妍愣了愣，有点不好意思：“啊差点忘了，我马上把这次的諮询费转给你。”

说著拿出手机微信转帐。

陈林看著微信转帐的信息，心情更加愉悦了。

和一个校花级美女独处3小时，还能猛赚1500，唯一消耗的脑力，晚上早点睡就轻鬆补回来了。

还有比这更爽的事嘛？

於是对沈妍说到：“下次諮询你提前一天找我约就行，我肯定排出空档好吧。”

说完摆摆手，拎著书包转身就走出了自习教室。

沈妍望著他的背影，自己已经是第三次见识到陈林非凡的数学天才了。

回想起刚才陈林讲解题目时的沉著冷静的神情，又望了望他留下的草稿纸，心跳没来由地一阵加速，沈妍脸上多了一分不易察觉的红晕。